Родился 30 марта 1961 года в селе Лесное Уколово Красненского района Белгородской области в семье колхозников. После окончания Лесноуколовской средней школы с 1976г. по 1980г. учился в Россошанском медицинском училище. Свою трудовую деятельность начал в 1980 году фельдшером Лесноуколовского фельдшерско-акушерского пункта. В октябре 1980 года призван на службу в ряды Советской Армии. С 1982г. по 1992г. - фельдшер скорой помощи Красненской центральной районной больницы. В 1992 году Алексей Иванович назначен директором Красненского филиала БГМСФ «Здоровье». С 1998г. по 2001г. - председатель правления акционерного общества «Лесное». В 2001 году окончил Московский современный гуманитарный университет по специальности «экономист». В этом же году назначен на должность заместителя главы местного самоуправления Красненского района по социально-культурному развитию. С 2004 года - первым заместителем главы местного самоуправления Красненского района по отраслевому развитию. 27 декабря 2008 года Дыбов А.И. назначен главой администрации Красненского района. За многолетний труд, личный вклад в социально-экономическое развитие Красненского района награжден в 2005 году Почётной грамотой управления ЖКХ Белгородской области, в 2006 году - Почётной грамотой Министерства регионального развития Российской Федерации. Неоднократно награжден благодарностями заместителя губернатора Белгородской области – руководителя аппарата губернатора области О.Н. Полухина, благодарностями Всероссийской политической партии «Единая Россия». В 2008 году награжден благодарностью губернатора Белгородской области. Женат, воспитывает двоих дочерей.